ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ЦИФРОВОЕ...) ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ...

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań ZAPRASZAM ..

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

W książce w sposób przystępny dokonano przejścia od matematycznych podstaw teorii sygnałów analogowych do współczesnych zastosowań analizy i przetwarzania sygnałów cyfrowych. Niezbędne rozważania matematyczne zilustrowano licznymi przykładami obliczeniowymi, rysunkami oraz programami komputerowymi, napisanymi w języku Matlab. Poza klasycznymi tematami, takimi jak filtracja analogowa i cyfrowa oraz ciągła i dyskretna transformacja Fouriera, opisano także zagadnienia bardziej zaawansowane: filtrację adaptacyjną, estymację rekursywną oraz nowoczesne metody analizy częstotliwościowej i czasowo-częstotliwościowej sygnałów, w tym transformację falkową i zespoły filtrów. Podano również podstawy: kodowania i rozpoznawania sygnału mowy, kompresji MP3 sygnału audio, analizy i przetwarzania obrazów oraz cyfrowej modulacji wielotonowej, stosowanej m.in. w szybkich telefonicznych modemach ADSL oraz w lokalnych bezprzewodowych sieciach komputerowych typu Wi-Fi.

Książka jest podręcznikiem akademickim. W zamierzeniu autora każdy z rozdziałów stanowi zamkniętą całość, odpowiednią do oddzielnej lektury, dlatego część przedstawionego materiału będzie się w niewielkim stopniu powtarzać, ale zazwyczaj w nieco innej formie.

Książka jest adresowana do pracowników naukowych wyższych uczelni, słuchaczy studiów doktoranckich, studentów zgłębiających tajniki cyfrowego przetwarzania sygnałów oraz praktykujących inżynierów zainteresowanych własnym rozwojem.

Przedmowa

Celem niniejszej książki jest w miarę całościowe przedstawienie podstaw cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ich znajomość jest niezwykle istotna w czasach, w których obserwuje się zdecydowane preferowanie rozwiązań opartych na technice cyfrowej a nie analogowej. Tendencja ta jest wyraźnie obserwowana od wielu lat i jest wynikiem coraz większej dostępności, także cenowej, bardzo wydajnych układów cyfrowych (mikroprocesorów i mikrokontrolerów, pamięci oraz układów peryferyjnych, takich jak przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe) oraz zalet przetwarzania cyfrowego nad analogowym (niezmienności czasowej sposobu przetwarzania danych, spowodowanej brakiem zależności od starzejących się i zmieniających swoje właściwości elementów elektronicznych). W związku z tym coraz częściej obserwuje się projektowanie układów elektronicznych, w których jak najwcześniej następuje przetworzenie sygnałów analogowych na postać cyfrową i realizowanie algorytmu przetwarzania całkowicie w postaci operacji arytmetycznych na liczbach, reprezentujących wartości chwilowe spróbkowanych sygnałów analogowych. Ten scenariusz jest powszechny wszędzie. Przykładem mogą być różnorakie systemy sterowania i nadzoru: przemysłowe, wojskowe, medyczne. Dodatkowo w epoce multimedialnej szeroko przetwarzane i analizowane są cyfrowe sygnały mowy, muzyki (audio), obrazy i ich sekwencje (wideo, telewizja).

Wszędzie tam, gdzie znajduje się procesor przetwarzający cyfrowe dane pomiarowe mamy do czynienia z cyfrowym przetwarzaniem sygnałów. Okazuje się jednak, że niezależnie od źródła tych sygnałów podstawowe metody ich przetwarzania i analizy są identyczne lub bardzo podobne.

Dlaczego tak się dzieje? Ponieważ w każdym przypadku patrzymy na sygnał jako na funkcję zmienną w czasie, lub przestrzeni, i wykorzystujemy znane, ogólnie dostępne narzędzia analizy matematycznej tych funkcji, czyli na przykład stosujemy osiemnastowieczne przekształcenie Fouriera lub mającą dopiero kilkanaście lat transformację falkową do częstotliwościowej analizy sygnałów.

Zdaniem autora nie można mówić o przetwarzaniu sygnałów cyfrowych bez nawiązania do teorii (analizy i przetwarzania) sygnałów analogowych, czyli teorii funkcji ciągłych. Analiza i przetwarzanie danych cyfrowych są nierozerwalnie związane z analizą i przetwarzaniem sygnałów analogowych. Najczęściej dane cyfrowe są spróbkowaną wersją ("kopią') danych analogowych i ich analiza ma nam dać informacje nie o "kopii", ale o "oryginale". Narzędzia stosowane w obu przypadkach i ich właściwości wzajemnie się przy tym przenikają. Filtry cyfrowe wywodzą się z filtrów analogowych, implementowana na komputerach dyskretna transformacja Fouriera (stosowana przykładowo w bardzo popularnym obecnie standardzie kompresji muzyki mp3) powstała z "całkowego" szeregu Fouriera, zaś transformacja Z pełni podobną rolę w świecie liniowych, niezmiennych w czasie układów dyskretnych jak transformacja Laplace'a w świecie układów analogowych.

Z tego powodu niniejsza książka będzie podróżą po wielu kontynentach. Znajdą się w niej: elementy teorii sygnałów analogowych i obwodów elektrycznych (rozdziały l - 6), podstawowe (rozdziały 7 - 13) i bardziej zaawansowane (rozdziały 14 - 18) metody cyfrowej analizy i przetwarzania sygnałów oraz ich wybrane, ciekawe zastosowania (rozdziały 19 - 23). Autorowi zawsze będzie przyświecał podstawowy cel, aby pokazać związki i przenikanie się świata "analogowego" i "cyfrowego". Równocześnie nacisk zostanie położony nie na istniejące "wzory mnemotechniczne", dające inżynierowi gotowe recepty ,jak żyć" dzisiaj, ale zamykające drogę dalszego rozwoju jutro, tylko na staranne matematyczne wytłumaczenie rozpatrywanych kwestii, które pozwoli na dalsze, samodzielne, świadome poruszanie się Czytelnika w dziedzinach dla niego nowych.

Pierwsze wytłumaczenie zawsze będzie jak najprostsze. Główną intencją autora jest "odczarowanie" tematów pozornie trudnych i "rzucenie mostów" pomiędzy brzegami z pozoru odległymi.

W książce tej nie ma nic nowego. Wszystko już było. W dużej części składa się ona z prostych wyprowadzeń i przekonywujących wytłumaczeń, które zostały wyłowione z setek książek i artykułów - morza słów - i skrzętnie zapamiętane. Więc po co ją napisano? Autor z przykrością stwierdza, że sam mozolnie całymi latami odkrywał niektóre proste prawdy. I tak jak podczas wspinaczki w górach, po każdym "podejściu" odsłaniał mu się "nowy widok". Wędrówka ta już trwa ponad dwadzieścia lat. I na pewno do szczytu jest jeszcze bardzo daleko. Ale może warto pokazać innym drogę "na skróty", podjąć próbę dopasowania elementów "łamigłówki" oraz syntezy własnych przemyśleń.

Książka jest podręcznikiem akademickim. W zamierzeniu autora każdy z rozdziałów stanowi zamkniętą całość, odpowiednią do oddzielnej lektury, dlatego część przedstawionego materiału będzie się w niewielkim stopniu powtarzać, ale zazwyczaj w nieco innej formie.

...

Autor ma nadzieję, że choć w niewielkiej części udało mu się zrealizować swoje ambitne zamierzenia. Dlatego z zawstydzeniem i pokorą przedstawia Czytelnikowi skromny wynik swojej pracy.

Kraków, wrzesień 2005 Tomasz P. Zieliński

Spis treści książki której celem jest jest w miarę całościowe przedstawienie podstaw cyfrowego przetwarzania sygnałów :

Przedmowa

Wykaz oznaczeń

Wykaz skrótów

Sygnały i ich parametry - Rozdział 1

Pojęcia podstawowe - część 1.1

Klasyfikacja sygnałów - część 1.2

Sygnały deterministyczne - część 1.3

Parametry

Przykłady

Sygnały zespolone

Rozkład sygnałów na składowe

Funkcja korelacji własnej i wzajemnej

Splot sygnałów

Transformacja Fouriera

Sygnały losowe - część 1.4

Zmienne losowe - część 1.4.1

Procesy losowe, stacjonarność, ergodyczność

Funkcje korelacji i kowariancji, gęstość widmowa mocy

Estymatory parametrów i funkcji

Filtracja sygnałów losowych

1.5. Przykład ćwiczenia komputerowego

2. Podstawy matematyczne analizy sygnałów deterministycznych

• Przestrzenie sygnałów deterministycznych
• Dyskretne reprezentacje ciągłych sygnałów deterministycznych
• Ciągłe reprezentacje ciągłych sygnałów deterministycznych – przekształcenia całkowe
• Reprezentacje sygnałów dyskretnych – przestrzenie wektorowe
• Przykład ćwiczenia komputerowego

3. Szereg Fouriera

• Ortogonalne funkcje bazowe
• Harmoniczne zespolone funkcje bazowe
• Harmoniczne rzeczywiste funkcje bazowe
• Przykład obliczeniowy
• Przykład ćwiczenia komputerowego
• Szereg Fouriera sygnałów dyskretnych – dyskretne przekształcenie Fouriera

4. Całkowe przekształcenie Fourier

• Definicja
• Podstawowe właściwości
• Transformaty Fouriera wybranych sygnałów
• Widmo iloczynu i splotu dwóch sygnałów
• Twierdzenie o próbkowaniu
• Widmo sygnału spróbkowanego
• Przykład ćwiczenia komputerowego

5. Układy analogowe

• Analogowe układy LTI
• Transmitancja układu analogowego, zera i bieguny
• Przekształcenie Laplace’a, transmitancja Laplace’a
• Wykresy Bodego
• Złożone układy analogowe LTI
• Analiza matematyczna wybranych układów elektrycznych
• Przykłady projektowania
• Przykład ćwiczenia komputerowego

6. Analogowe filtry Butterwortha i Czebyszewa 131

6.1. Ogólne zasady projektowania filtrów analogowych 132

6.2. Transformacja częstotliwości 139

6.3. Filtry Butterwortha 146

6.4. Filtry Czebyszewa typu I 157

6.5. Filtry Czebyszewa typu II 161

6.6. Sprzętowa implementacja filtrów analogowych 165

7. Dyskretyzacja sygnałów analogowych 173

7.1. Podstawy 173

7.2. Przetworniki analogowo-cyfrowe 179

7.3. Przetworniki cyfrowo-analogowe 184

7.4. Tor przetwarzania analogowo-cyfrowego

i cyfrowo-analogowego 185

8. Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych 192

8.1. Widmo Fouriera sygnałów dyskretnych 192

8.1.1. Przekształcenie Fouriera dla sygnałów ciągłych 193

8.1.2. Szereg Fouriera dla sygnałów ciągłych 193

8.1.3. Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych 194

8.1.4. Szereg Fouriera dla sygnałów dyskretnych, czyli dyskretne

przekształcenie Fouriera 198

8.2. Przykłady dyskretnych transformat Fouriera

sygnałów 202

8.3. Interpretacja dyskretnego przekształcenia Fouriera 206

8.4. Tor przetwarzania sygnałów podczas analizy

częstotliwościowej 210

8.5. Dyskretne okna czasowe 212

8.5.1. Okna nieparametryczne 212

8.5.2. Okna parametryczne 217

8.6. Przykłady analizy częstotliwościowej z wykorzystaniem

funkcji okien 220

8.7. Szybkie wyznaczanie funkcji autokorelacji i funkcji gęstości

widmowej mocy 226

9. Algorytmy wyznaczania dyskretnej transformacji

Fouriera 231

9.1. Metoda bezpośrednia 231

9.2. Algorytm Goertzela 234

9.3. Rekurencyjne wyznaczanie sekwencji dyskretnych

transformat Fouriera 236

9.4. Transformacja świergotowa – lupa w dziedzinie

częstotliwości 239

9.5. Szybka transformacja Fouriera – algorytmy radix-2 241

9.5.1. Podział w dziedzinie czasu – DIT (Decimation

in Time) 241

9.5.2. Podział w dziedzinie częstotliwości – DIF (Decimation

in Frequency) 252

9.6. Szybka transformacja Fouriera dla sygnałów

rzeczywistych 255

9.7. Dwuwymiarowa dyskretna transformacja Fouriera 257

9.8. Wyznaczanie DCT metodą szybkiej transformacji

Fouriera 258

10. Układy dyskretne 260

10.1. Układy dyskretne LTI 260

10.2. Algorytm filtracji sygnałów za pomocą dyskretnych

układów LTI 265

10.3. Transformacja Z 267

10.4. Odwrotna transformacja Z 270

10.5. Właściwości transformacji Z 274

10.6. Transmitancja układów dyskretnych 275

10.7. Przykłady projektowania układów dyskretnych

metodą „zer i biegunów” 280

10.8. Przykład ćwiczenia komputerowego 284

11. Projektowanie rekursywnych filtrów cyfrowych 288

11.1. Wymagania stawiane filtrom cyfrowym 289

11.2. Metoda Yule’a-Walkera 291

11.3. Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej 291

11.4. Metoda dopasowanej transformacji Z 293

11.5. Metoda transformacji biliniowej 293

11.6. Przykłady projektowania filtrów w języku Matlab 297

11.7. Przykład ćwiczenia komputerowego 304

12. Projektowanie nierekursywnych filtrów cyfrowych 307

12.1. Wprowadzenie 308

12.2. Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości 313

12.3. Metoda optymalizacji średniokwadratowej 317

12.4. Metoda aproksymacji Czebyszewa (algorytm

Remeza) 321

12.5. Metoda okien 325

12.6. Filtry specjalne 339

12.6.1. Filtr Hilberta 339

12.6.2. Filtr różniczkujący 345

12.6.3. Filtr interpolatora i decymatora cyfrowego 347

12.6.4. Przykład ćwiczenia komputerowego 351

12.7. Synchronizacja próbek wejściowych i wyjściowych

filtra 353

13. Algorytmy filtracji cyfrowej 356

13.1. Klasyczne struktury filtrów cyfrowych 356

13.2. Struktura zmiennych stanu 361

13.3. Inne struktury filtrów cyfrowych 363

13.4. Splot liniowy i kołowy 364

13.5. Algorytmy szybkiego splotu sygnałów dyskretnych 371

13.6. Algorytmy sekcjonowanego szybkiego splotu sygnałów

dyskretnych 373

13.7. Przykład ćwiczenia komputerowego 376

14. Filtry adaptacyjne 379

14.1. Wprowadzenie 379

14.2. Podstawy filtracji adaptacyjnej 380

14.3. Filtracja optymalna – filtr Wienera 382

14.4. Gradientowe filtry adaptacyjne 384

14.5. Filtry adaptacyjne LSM – bez pamięci 386

14.6. Filtry adaptacyjne LS (RLS) – filtry z pamięcią 388

14.7. Przykłady zastosowań 391

14.8. Przykład ćwiczenia komputerowego – filtr adaptacyjny

(N)LMS 394

15. Liniowa estymacja rekursywna 399

15.1. Metoda najmniejszych kwadratów. Filtry RLS

i WRLS 399

15.2. Metoda minimalno-średniokwadratowa. Filtr Kalmana 408

16. Zaawansowane metody analizy częstotliwościowej

sygnałów 420

16.1. Wprowadzenie 420

16.2. Modelowanie parametryczne AR, MA i ARMA 423

16.2.1. Podstawy 423

16.2.2. Model AR 426

16.2.3. Model MA 427

16.2.4. Model ARMA 429

16.2.5. Podsumowanie 430

16.3. Metody podprzestrzeni 430

16.3.1. Podstawy 430

16.3.2. Metoda Pisarenki 432

16.3.3. Metody pochodne: MUSIC, EV i MV 435

16.3.4. Metoda ESPRIT 437

16.3.5. Metody podprzestrzeni sygnału (składowych

głównych) 439

16.4. Przykład ćwiczenia komputerowego 440

17. Metody czasowo-częstotliwościowej analizy

sygnałów 443

17.1. Problem analizy czasowo-częstotliwościowej 444

17.2. Transformacja Gabora 450

17.3. Krótkoczasowa transformacja Fouriera STFT 455

17.4. Transformacja falkowa 459

17.5. Transformacja Wignera-Ville’a 472

17.6. Reprezentacje czasowo-częstotliwościowe z klasy

Cohena 477

17.7. Przykłady zastosowań 486

17.8. Przykład ćwiczenia komputerowego 493

18. Zespoły filtrów 496

18.1. Wprowadzenie 496

18.2. Pojęcia podstawowe 500

18.2.1. Decymator i interpolator 500

18.2.2. Dekompozycja polifazowa sygnałów 503

18.2.3. Decymator i interpolator w zapisie polifazowym 506

18.3. Opis matematyczny zespołu filtrów 507

18.3.1. Analiza jednej gałęzi 507

18.3.2. Analiza wszystkich gałęzi 511

18.3.3. Zapis polifazowy zespołu filtrów 512

18.3.4. Warunek perfekcyjnej rekonstrukcji 514

18.4. Zespoły filtrów z modulacją zespoloną 515

18.4.1. DFT jako modulowany zespół filtrów 516

18.4.2. Krótkoczasowa transformacja Fouriera STFT

jako modulowany zespół filtrów 518

18.4.3. Uogólniony modulowany zespół filtrów

oparty na DFT 519

18.5. Zespoły filtrów z modulacją kosinusową 527

18.5.1. Równania, budowa 527

18.5.2. Projektowanie filtrów prototypowych 533

18.6. Implementacja programowa zespołu filtrów

standardu MPEG audio 539

19. Projekt LPC-10: podstawy kompresji i rozpoznawania

sygnału mowy 545

19.1. Wprowadzenie 545

19.2. Model generacji sygnału mowy 549

19.3. Układ decyzyjny „mowa dźwięczna/bezdźwięczna” 551

19.4. Wyznaczanie filtra traktu głosowego 557

19.5. Algorytm kodera i dekodera mowy standardu LPC-10 563

19.6. Przykład programu komputerowego 566

19.7. Od kodowania do rozpoznawania mowy 569

20. Projekt LPC-10: kompresja sygnału mowy – metody

zaawansowane 577

20.1. Metoda Durbina-Levinsona 577

20.2. Filtry kratowe 581

20.3. Przykładowy program komputerowy 590

21. Projekt MPEG AUDIO: psychoakustyczna kompresja

dźwięku 592

21.1 Wprowadzenie do standardu MPEG audio 593

21.2. Podstawy modelowania psychoakustycznego 594

21.3. Modele psychoakustyczne standardu MPEG audio 603

21.3.1. Model psychoakustyczny I 603

21.3.2. Model psychoakustyczny II 604

21.3.3. Program komputerowy 612

21.4. Zespoły filtrów w standardzie MPEG audio 618

21.5. Kodowanie dźwięku na poziomach MP1 i MP2 631

21.5.1. Algorytm kompresji i dekompresji 631

21.5.2. Program komputerowy 638

22. Projekt OBRAZ: podstawy analizy i przetwarzania

sygnałów dwuwymiarowych 647

22.1. Wprowadzenie do świata 2D i 3D 649

22.2. Transformacje ortogonalne 2D obrazów 658

22.2.1. Dyskretna transformacja Fouriera 658

22.2.2. Dyskretna transformacja kosinusowa 663

22.2.3. Dowolna transformacja ortogonalna – interpretacja

współczynników 665

22.3.4. Program komputerowy 668

22.3. Filtracja 2D obrazów 670

22.3.1. Splot 2D 670

22.3.2. Projektowanie filtrów 2D 674

22.3.3. Przykładowe filtry 2D 683

22.3.4. Program komputerowy 686

22.4. Falkowa dekompozycja 2D obrazów 690

22.4.1. Jednowymiarowa predykcyjna transformacja

falkowa 691

22.4.2. Związki pomiędzy klasyczną a predykcyjną t

ransformacją falkową 697

22.4.3. Program komputerowy do falkowej dekompozycji

obrazów 700

22.5. Przykłady zastosowań 707

22.5.1. Kompresja JPEG i MPEG 707

22.5.2. Znaki wodne w obrazach 715

22.5.3. Dopasowywanie do siebie obrazów cyfrowych 718

22.5.4. Detekcja linii w inżynierii materiałowej - transformacja

Hougha 730

22.2.5. Algorytmiczna stabilizacja obrazu w zastosowaniach

medycznych 733

22.5.6. Systemy nawigacji wspomagające zabiegi

medyczne 737

23. Projekt MODEM ADSL: szybki dostęp do Internetu

po linii telefonicznej 740

23.1 Podstawy modulacji 741

23.2. Cyfrowe modulacje wielotonowe 745

23.3. Standard ADSL 748

23.4. Modulator-demodulator DMT 751

23.5 Źródła zniekształceń i zakłóceń 754

23.6 Wybrane zagadnienia implementacyjne 759

23.6.1. Identyfikacja odpowiedzi impulsowej kanału 759

23.6.2. Korekcja czasowa kanału – skracanie czasu trwania

odpowiedzi impulsowej 764

23.6.3. Synchronizacja blokowa 767

23.6.4. Korekcja częstotliwościowa kanału 769

23.6.5. Estymacja przepływności bitowej 770

23.6.6. Właściwy dobór korektora czasowego 773

23.7. Przykład ćwiczenia komputerowego 773

24. Projekt FAZA: estymacja chwilowego przesunięcia

fazowego 778

24.1. Estymatory proste 778

24.2. Estymatory złożone 781

24.3. Przykłady algorytmów 782

24.4. Przykładowy program komputerowy 786

25. EPILOG: implementacja algorytmów DSP

na procesorach sygnałowych 787

25.1 Wprowadzenie do budowy i programowania

procesorów DSP 788

25.2. Splot sygnałów na procesorze DSP 791

25.3. Wybrane zagadnienia implementacyjne 796

25.3.1. Specyfika budowy i zastosowań procesorów

sygnałowych 796

25.3.2. Podstawy pisania i uruchamiania programów 800

25.3.3. Zaawansowane narzędzia 803

25.3.4. Przykład projektowania filtra IIR 805

25.4. Przykładowa aplikacja procesora DSP 807

25.5. Procesory DSP a układy programowalne FPGA 808

25.6. Przyszłość – czy jesteśmy trendy? 810

Literatura 813

Dodatki 823

D.1. Wykaz programów 823

D.2. Wersja elektroniczna programów 824

Skorowidz 825